Contoh Laplace Koordinat Bola

Soal 1
Sebuah kulit bola berjari-jari R memiliki rapat muatan permukaan $\sigma(\theta)={\sigma}_{0} \ cos {\theta}$ . Tentukan potensial di seluruh daerah!

Untuk mencari potensial dapat dilakukan dengan Persamaan Laplace untuk koordinat bola dengan simetri azimuth dengan persamaan:

${\nabla}^{2}V=0$...(1)

Persamaan tersebut memiliki syarat batas:

(i) $V(r \rightarrow \infty) = 0$

(ii) $V(r=0) \ berhingga$

(iii) $V_{in}(r=R)=V_{out}(r=R)$

$\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}\frac{\partial V}{\partial {r}}+\frac{1}{r^{2} \ sin \ {\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin \ \theta \frac{\partial V}{\partial \theta})=0$...(2)

Dengan menggunakan separasi variabel

$V=R(r) \Theta(\theta)$...(3)

Dengan mensubstitusi persamaan (3) ke (2) lalu membaginya dengan $V$ didapat:

$\frac{1}{R}\frac{d}{dr} (r^{2} \frac {dR}{dr})+\frac{1}{\Theta sin \ \theta} \frac {d}{d \theta}(sin \ \theta \frac {d \Theta}{d \theta})=0$...(4)

Karena suku pertama dan suku kedua saling bebas, maka masing-masing suku memiliki solusi kontan dengan persamaan:

 $\frac{1}{R}\frac{d}{dr} (r^{2} \frac {dR}{dr})=l(l+1)...(5) \ \ \ \ \frac{1}{\Theta sin \ \theta} \frac {d}{d \theta}(sin \ \theta \frac {d \Theta}{d \theta})=-l(l+1)...(6)$

Solusi persamaan (5) dan (6) adalah:

$R(r)={A}{r}^{l}+\frac{B}{r^{l+1}}...(7) \ \ \ \ \ \Theta (\theta)=P_{l}(cos \ {\theta})...(8)$

Maka solusi umum dari potensial adalah:

$V=R(r) \Theta (\theta)= \sum_{l=0}^{\infty}{A_{l}}{r}^{l}+\frac{B_{l}}{r^{l+1}}P_{l}(cos \ {\theta})$

Indeks $A$ menjadi $A_{l}$ dan $B$ menjadi $B_{l}$ sebab dalam polinomial Legendre, $l$ bernilai dari 0 sampai $\infty$ 

Sekarang kita bagi pencarian potensial menjadi dua daerah yakni daerah $r<R$ dan $r>R$

Untuk $r<R$ kita namakan $V_{in}$ dan untuk $r>R$ kita namakan $V_{out}$

$V_{in}=\sum_{l=0}^{\infty}{A_{l}}{r}^{l}P_{l}(cos \ {\theta})$...(9)

Suku kedua dibuang sebab akan melanggar syarat batas (ii) Jika dimasukan nilai potensial akan menjadi tak hingga di $r=0$. Dan untuk potensial di luar bola:

$V_{out}=\sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_{l}}{r^{l+1}}P_{l}(cos \ {\theta})$...(10)

Pada $V_{out}$ suku pertama dibuang sebab akan melanggar syarat batas (i) nilai potensial akan blow up di $r \rightarrow \infty$.

Dengan menggunakan syarat batas (iii) potensial bersifat kontinyu maka persamaan (9) dan (10) memiliki hubungan:

  $V_{in}(r=R)=V_{out}(r=R)$ 

$\sum_{l=0}^{\infty}{A_{l}}{R}^{l}P_{l}(cos \ {\theta})=\sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_{l}}{R^{l+1}}P_{l}(cos \ {\theta})$

${A_{l}}{R}^{l}=\frac{B_{l}}{R^{l+1}}$

${B_{l}}=A_{l}R^{2l+1}$...(11)
$V_{out}=\sum_{l=0}^{\infty}\frac{A_{l}R^{2l+1}}{r^{l+1}}P_{l}(cos \ {\theta})$...(12)

Untuk mencari fungsi $V$ karena di soal diketahui rapat muatan permukaan kulit bola maka dengan menggunakan prinsip ketidakkontinyuan medan listrik:

$E_{out \ arah \ normal} - E_{in \ arah \ normal}=\frac{\sigma (\theta)}{\varepsilon_{0}}$

$E=-\nabla V$

Karena arah normal adalah arah radial maka:

$(-\frac{\partial V_{out}}{\partial r}+\frac{\partial V_{in}}{\partial r})|_{r=R}=\frac{\sigma (\theta)}{\varepsilon_{0}}$

Dengan menggunakan persamaan (9) dan (12) didapat:

$\sum_{l=0}^{\infty} (l+1) \frac{A_{l}R^{2l+1}}{R^{l+2}}P_{l}(cos \ {\theta})+\sum_{l=0}^{\infty}{l}{A_{l}}{R}^{l-1}P_{l}(cos \ {\theta})=\frac{\sigma (\theta)}{\varepsilon_{0}}$

atau

$\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1){A_{l}}{R}^{l-1}P_{l}(cos \ {\theta})=\frac{\sigma (\theta)}{\varepsilon_{0}}$

Dengan sifat ortogonalitas Legendre, kita dapat menghitung sebagai berikut:

$\int_0^{\pi} \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1){A_{l}}{R}^{l-1}P_{l}(cos \ {\theta}) \ P_{m}(cos \ {\theta}) \ sin \ {\theta} {d \theta}=\int_0^{\pi} \frac{\sigma (\theta)}{\varepsilon_{0}} \ P_{m}(cos \ {\theta}) \ sin \ {\theta} {d \theta}$

atau

$\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1){A_{l}}{R}^{l-1} \int_0^{\pi} P_{l}(cos \ {\theta}) \ P_{m}(cos \ {\theta}) \ sin \ {\theta} {d \theta} = \int_0^{\pi} \frac{\sigma (\theta)}{\varepsilon_{0}} \ P_{m}(cos \ {\theta}) \ sin \ {\theta} {d \theta}$

$\sum_{l=0}^{\infty} (2l+1){A_{l}}{R}^{l-1}(\frac{2}{2l+1} \delta_{lm})=\int_0^{\pi} \frac{\sigma (\theta)}{\varepsilon_{0}} \ P_{m}(cos \ {\theta}) \ sin \ {\theta} {d \theta}$

$\sum_{l=0}^{\infty} 2{A_{m}}{R}^{m-1}=\int_0^{\pi} \frac{\sigma (\theta)}{\varepsilon_{0}} \ P_{m}(cos \ {\theta}) \ sin \ {\theta} {d \theta}$

$\sum_{l=0}^{\infty} 2{A_{m}}{R}^{m-1}=\int_0^{\pi} \frac{\sigma_0 \ cos (\theta)}{\varepsilon_{0}} \ P_{m}(cos \ {\theta}) \ sin \ {\theta} {d \theta}$

$\sum_{l=0}^{\infty} 2{A_{m}}{R}^{m-1}= \frac{\sigma_0}{\varepsilon_{0}} \int_0^{\pi} \ P_{1} \ cos (\theta) \ P_{m}(cos \ {\theta}) \ sin \ {\theta} {d \theta}$

 $\sum_{l=0}^{\infty} 2{A_{m}}{R}^{m-1}= \frac{\sigma_0}{\varepsilon_{0}} (\frac{2}{2l+1} \delta_{1m})$

Karena sebelah kanan hanya survive untuk $m=1$ dan $m$ lainnya membuat ruas kanan menjadi nol, maka hanya ada nilai $A_{1}$ saja dan suku lainnya bernilai nol. Maka nilai $A_{1}$ adalah:

${A_{1}}=\frac{\sigma_0}{3 \varepsilon_{0}}$...(13)

Substitusi persamaan (13) ke persamaan (9) dan (12) sehingga solusi potensial di setiap daerah adalah:

Untuk $r<R$

$V_{in}={\frac{\sigma_0}{3 \varepsilon_{0}}}{r} \ cos \ {\theta}$

 Untuk $r>R$

$V_{out}=\frac{\sigma_{0}R^{3}}{3 \varepsilon_{0} \ r^{2}} \ cos \ {\theta}$