Contoh Laplace Koordinat Bola
Soal 1 Sebuah kulit bola berjari-jari R memiliki rapat muatan permukaan \sigma(\theta)={\sigma}_{0} \ cos {\theta} . Tentukan potensial di seluruh daerah! Untuk mencari potensial dapat dilakukan dengan Persamaan Laplace untuk koordinat bola dengan simetri azimuth dengan persamaan: {\nabla}^{2}V=0...(1) Persamaan tersebut memiliki syarat batas: (i) V(r \rightarrow \infty) = 0 (ii) V(r=0) \ berhingga (iii) V_{in}(r=R)=V_{out}(r=R) \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}\frac{\partial V}{\partial {r}}+\frac{1}{r^{2} \ sin \ {\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin \ \theta \frac{\partial V}{\partial \theta})=0...(2) Dengan menggunakan separasi variabel V=R(r) \Theta(\theta)...(3) Dengan mensubstitusi persamaan (3) ke (2) lalu membaginya dengan V didapat: \frac{1}{R}\frac{d}{dr} (r^{2} \frac {dR}{dr})+\frac{1}{\Theta sin \ \theta} \frac {d}{d \theta}(sin \ \theta \frac {d \Theta}{d \theta})=0...(4) Karena suku pertama dan suku ke...